Que se passerait-il si un grand guerrier et une petite tortue devaient faire la course ? Selon Zénon d’Élée, le mathématicien et philosophe grec du Ve siècle avant J.-C., le guerrier n’attraperait jamais la tortue — du moins selon la logique de son célèbre paradoxe. Et pourtant le sens commun nous dit le contraire. Voici comment les mathématiques ont résolu le dilemme après près de deux mille ans de débat.
Le paradoxe
« Le vaillant Achille et la petite tortue décident de faire une course. Achille, sûr de gagner, décide de donner à la tortue une généreuse avance. Comment le grand guerrier pourrait-il jamais perdre contre le petit animal lent ? La tortue part et Achille attend. Ce n’est qu’après un certain temps qu’Achille se lance à la poursuite. Achille, chaque minute, divise par deux la distance qui le sépare de la tortue… le héros rattrapera-t-il jamais son adversaire ? »
Si vous aviez posé cette question à Zénon, il aurait calmement répondu non.
Le raisonnement est le suivant : imaginez la distance entre Achille et la tortue comme un nombre entier que vous continuez à diviser par deux à chaque intervalle. Le résultat, aussi petit soit-il, n’égalera jamais zéro — il sera toujours un nombre décimal plus petit, à l’infini.
Où Zénon avait tort
Zénon concluait que la somme de quantités infinies donne une valeur infinie :
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … = infini ?
L’erreur est précisément ici. Zénon croyait que la somme d’une infinité de quantités doit nécessairement donner un résultat infini. Comme le démontre le calcul infinitésimal, ce n’est pas le cas. En posant x = 1/2 :
(1-x)(x¹ + x² + x³ + …) = x − x^(n+1)
Donc : x¹ + x² + x³ + … = (x − x^(n+1)) / (1−x)
Si x = 1/2, la somme converge vers : (1/2) / (1/2) = 1
Le temps pris par Achille est donc fini. On peut le traiter comme un simple problème de cinématique.
La solution numérique
- Distance initiale Achille–Tortue : 1000 mètres
- Vitesse d’Achille : 10 m/s
- Vitesse de la tortue : 1 m/s
La distance parcourue par Achille (10t) doit égaler la distance initiale plus ce que la tortue a parcouru (1000 + 1t) :
10t = 1000 + 1t → 9t = 1000 → t ≈ 111 secondes
Après environ 111 secondes, Achille rattrape la tortue. Le paradoxe apparent de Zénon s’évanouit dès lors qu’on accepte que la somme d’une infinité de termes peut converger vers une valeur finie — une idée que les mathématiques modernes ont pleinement formalisée avec la notion de série convergente.
